Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{5} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{y}{5}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{5}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{5})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{5}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{5}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{5}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{5} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{5} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{5} d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{5} x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{5} x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{5} x + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = - \frac{1}{5} x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{5} x + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- \frac{1}{5} x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{5} x + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{5}$ .

$| y | = e^{- \frac{x}{5} + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x}{5} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \frac{x}{5} + C}$ в виде $e^{- \frac{x}{5}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x}{5}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \frac{x}{5}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x}{5}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \frac{x}{5}}$