Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y \sin (x)$ , где $f (2 π) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y \sin (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin (x)))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \sin (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \cos (x) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \cos (x) + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = - \cos (x) + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \cos (x) + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- \cos (x) + C}$ .

$| y | = e^{- \cos (x) + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \cos (x) + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \cos (x) + C}$ в виде $e^{- \cos (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \cos (x)} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \cos (x)}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \cos (x)}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \cos (x)}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $2 π$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = C e^{- \cos (x)}$ .

$1 = C e^{- \cos (2 π)}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C e^{- \cos (2 π)} = 1$ .

$C e^{- \cos (2 π)} = 1$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$C e^{- \cos (0)} = 1$

Этап 6.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$C e^{- 1 \cdot 1} = 1$

Этап 6.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$C e^{- 1} = 1$

Этап 6.3

Разделим каждый член $C e^{- 1} = 1$ на $e^{- 1}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $C e^{- 1} = 1$ на $e^{- 1}$ .

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перенесем $e^{- 1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e$

Этап 7

Подставим $e$ вместо $C$ в $y = C e^{- \cos (x)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $e$ вместо $C$ .

$y = e e^{- \cos (x)}$

Этап 7.2

Умножим $e$ на $e^{- \cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$y = e^{1} e^{- \cos (x)}$

Этап 7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = e^{1 - \cos (x)}$