Математический анализ Примеры

$\frac{d f}{d x} = - 5 x^{2} - 5 e^{x}$ , $f (0) = - 16$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d f = (- 5 x^{2} - 5 e^{x}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d f = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = - 5 \int x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 e^{x} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int e^{x} d x$

Этап 2.3.5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (e^{x} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{- 5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f + C_{1} = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $- 16$ вместо $f$ в $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ .

$- 16 = - \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$

Этап 4.2

Упростим $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{5}{3}) - 5 e^{0} + K = - 16$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{5}{3}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Этап 4.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 16$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$0 - 5 + K = - 16$

Этап 4.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 5 + K = - 16$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$K = - 16 + 5$

Этап 4.3.2

Добавим $- 16$ и $5$ .

$K = - 11$

Этап 5

Подставим $- 11$ вместо $K$ в $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 11$ вместо $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} - 11$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{5}{3}$ .

$f = - \frac{x^{3} \cdot 5}{3} - 5 e^{x} - 11$

Этап 5.2.2

Перенесем $5$ влево от $x^{3}$ .

$f = - \frac{5 x^{3}}{3} - 5 e^{x} - 11$