Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2$

Этап 1

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2$

Этап 2

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 3

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 4

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2$

Этап 5

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 - V$

Этап 5.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в $V + 2 - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2$

Этап 5.1.1.1.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2$

Этап 5.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 2$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = 2$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Этап 5.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Этап 5.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Этап 5.1.2

Перепишем уравнение.

$d V = \frac{2}{x} d x$

Этап 5.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d V = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 5.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Этап 5.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$V + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$V + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 5.2.3.3

Упростим.

$V + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 5.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$V = 2 \ln (| x |) + C$

Этап 6

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

Этап 7

Решим $\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (2 \ln (| x |) + C) x$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $(2 \ln (| x |) + C) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y = (\ln ({| x |}^{2}) + C) x$

Этап 7.2.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

Этап 7.2.2.1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

Этап 7.2.2.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.2.1

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

Этап 7.2.2.1.2.2.2

Изменим порядок $x \ln (x^{2})$ и $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2})$