Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

Этап 1

Предположим, что все решения имеют вид $y = e^{r x}$ .

Этап 2

Найдем характеристическое уравнение для $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Этап 2.3

Подставим в дифференциальное уравнение.

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Этап 2.4

Вынесем $e^{r x}$ за скобки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $- 4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ .

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

Этап 2.5

Так как экспоненциальные выражения не могут быть равны нулю, разделите обе части на $e^{r x}$ .

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

Этап 3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

Этап 3.3

Упростим $\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 e^{- x} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 e^{- x}$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (e^{- x}) + 4 (1)$ .

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

Этап 3.3.2

Перепишем $4 (e^{- x} + 1)$ в виде $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

Этап 3.3.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

Этап 3.3.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

Этап 3.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

Этап 4

По двум найденным значениям $r$ можно найти два решения.

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

Этап 5

Согласно принципу суперпозиции, общее решение является линейной комбинацией двух решений для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$