Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 2 x = 5$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = 5 - 2 x$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (5 - 2 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 5 - 2 x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 5 - 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 5 d x + \int - 2 x d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int - 2 x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} - 2 \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$y + C_{1} = 5 x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = 5 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = 5 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 5 x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y + C_{1} = 5 x - x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - x^{2} + 5 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - x^{2} + 5 x + K$