Математический анализ Примеры

$(x y + y^{2}) d y = y^{2} d x$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y^{2} d x$ из обеих частей уравнения.

$(x y + y^{2}) d y - y^{2} d x = 0$

Этап 1.2

Перепишем.

$- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{2}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x y + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = y$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 2 y = y$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $- 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - (- 2 y)}{M}$

Этап 5.3

Подставим $- y^{2}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- y^{2}$ вместо $M$ .

$\frac{y - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y - (- 2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{1} - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $- (- 2 y)$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- (- 2))}{- y^{2}}$

Этап 5.3.2.1.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- (- 2))$ .

$\frac{y (1 - (- 2))}{- y^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{y (1 + 2)}{- y^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{y \cdot 3}{- y^{2}}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 3$ .

$\frac{y (3)}{- y^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$\frac{y (3)}{y (- y)}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cdot 3}{y (- y)}$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{- y}$

Этап 5.3.4

Подставим $- y^{2}$ вместо $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Этап 6.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 3 \ln (| y |)$ путем переноса $- 3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Этап 6.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- y^{2}$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- y^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- y^{2}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3}$ .

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $x y + y^{2}$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $x y + y^{2}$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x y + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.5

Вынесем множитель $y$ из $x y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y \cdot y}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot y$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

Этап 7.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

Этап 7.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + y}{y^{2}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = - \frac{1}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

Этап 9.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $- \frac{x}{y} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{x}{y}$ по $y$ равна $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 12.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 12.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 12.5.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 12.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вычтем $\frac{x + y}{y^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + y}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + y)}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - y}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.5

Вычтем $y$ из $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.1

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Этап 13.1.1.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Этап 13.1.1.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Этап 13.1.1.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Этап 13.1.2

Добавим $\frac{1}{y}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Этап 14

Найдем первообразную $\frac{1}{y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Этап 14.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + \ln (| y |) + C$