Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = 1 + t - x - t x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) - x - t x$

Этап 1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d x}{d t} = 1 (1 + t) - x (1 + t)$

Этап 1.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $1 + t$ .

$\frac{d x}{d t} = (1 + t) (1 - x)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 + t) (1 - x))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $1 - x$ из $(1 + t) (1 - x)$ .

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 - x} ((1 - x) (1 + t))$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 - x} \frac{d x}{d t} = 1 + t$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 - x} d x = (1 + t) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 - x} d x = \int 1 + t d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 1 + t d t$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 1 + t d t$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int 1 + t d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \int d t + \int t d t$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \int t d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$- \ln (| 1 - x |) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \ln (| 1 - x |) = \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| 1 - x |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\ln (| 1 - x |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - x |) = \frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{2} t^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\frac{1}{2} t^{2})$ в виде $- (\frac{1}{2} t^{2})$ .

$\ln (| 1 - x |) = - (\frac{1}{2} t^{2}) + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{t}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - 1 \cdot t + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.5

Перепишем $- 1 \cdot t$ в виде $- t$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.6

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - 1 \cdot C$

Этап 3.1.3.1.7

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 - x |)} = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 1 - x |) = - \frac{t^{2}}{2} - t - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} = | 1 - x |$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ .

$| 1 - x | = e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$

Этап 3.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- x = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Чтобы записать $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.2

Чтобы записать $\frac{- 1}{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $1$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.3.1

Умножим $\frac{\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}}{- 1}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3.3

Умножим $\frac{- 1}{- 1}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{- - 1}$

Этап 3.4.4.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{(\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) \cdot - 1 - - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.5.1

Перенесем $- 1$ влево от $\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.2

Перепишем $- 1 (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ в виде $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C})$ .

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) - - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.6

Разделим $- (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$ на $1$ .

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t - C}) + 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}) + 1$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t + C}$ в виде $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}$ .

$x = - (\pm e^{- \frac{t^{2}}{2} - t} e^{C}) + 1$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}$ и $e^{C}$ .

$x = - (\pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$x = - (C e^{- \frac{t^{2}}{2} - t}) + 1$