Математический анализ Примеры

$3 y \frac{d y}{d x} = 8 x^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$3 y d y = 8 x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 3 y d y = \int 8 x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int y d y = \int 8 x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 8 x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 8 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $8 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 8 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} = \frac{8}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2}) = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Объединим.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $\frac{2}{3} (\frac{8}{3} x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $\frac{8}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{8 x^{3}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{2}{3} K$

Этап 3.2.2.1.1.3

Объединим.

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} K$

Этап 3.2.2.1.1.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (8 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

Этап 3.2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $\frac{2 K}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $\frac{2 K}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{9}}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{3} + 2 K \cdot 3}{9}}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{9}}$

Этап 3.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{9}}$

Этап 3.4.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (8 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + K \cdot 3)}{9}}$

Этап 3.4.4.2

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}}$

Этап 3.4.5

Перепишем $\frac{2 (8 x^{3} + 3 K)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $2 (8 x^{3} + 3 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{9}}$

Этап 3.4.5.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.4.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (8 x^{3} + 3 K))}$

Этап 3.4.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$

Этап 3.4.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (8 x^{3} + K)}}{3}$