Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$ , $y (0) = 9$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

Этап 1.1.1.2

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y + 3 x \cdot - 1 = 0$

Этап 1.1.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y - 3 x = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $3 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - 3 x = - 3 x y$

Этап 1.1.2.2

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

Этап 1.1.3.2

Возведем $\frac{d y}{d x}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 3 x y + 3 x$

Этап 1.1.3.4

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ на $x^{2} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y + 3 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $- 3 x y + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $- 3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x (1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.1.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (- 1 y) + 3 x (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y + 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- y + 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) + 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) - 1 (- 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y - 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.3.4.1

Перепишем $- (y - 1)$ в виде $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 (y - 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(3 x) (y - 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} (- \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y - 1}$ в числитель.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $y - 1$ из $\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Этап 1.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Этап 1.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3.4

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.3.4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.9

Упростим.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Объединим $\ln (| x^{2} + 1 |)$ и $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Этап 3.1.1.2

Перенесем $3$ влево от $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y - 1 |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3

Чтобы записать $\ln (| y - 1 |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\ln (| y - 1 |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (| y - 1 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим $\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y - 1 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y - 1 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y - 1 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.3

Упростим $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.4

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Этап 3.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

Этап 3.6.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.4

Применим правило умножения к ${(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ .

$\ln ({({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5

Перемножим экспоненты в ${({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln ({(y - 1)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.6

Упростим.

$\ln ((y - 1) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.7

Перемножим экспоненты в ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

Этап 3.6.1.7.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.9

Перепишем $- 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ в виде $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Этап 3.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

Этап 3.8

Перепишем $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

Этап 3.9.2

Добавим ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ к обеим частям уравнения.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.9.3

Разделим каждый член $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ на ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Разделим каждый член $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ на ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.9.3.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $9$ вместо $y$ в $y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ .

$9 = \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 9$ .

$\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 9$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Этап 6.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Этап 6.3.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$C + {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Этап 6.3.1.1.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$C + {| 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Этап 6.3.1.1.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$C + 1^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Этап 6.3.1.1.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$C + 1 = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$C + 1 = {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Этап 6.3.2.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$C + 1 = {| 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Этап 6.3.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$C + 1 = 1^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

Этап 6.3.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$C + 1 = 1 \cdot 9$

Этап 6.3.2.1.5

Умножим $9$ на $1$ .

$C + 1 = 9$

Этап 6.4

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$C = 9 - 1$

Этап 6.4.2

Вычтем $1$ из $9$ .

$C = 8$

Этап 7

Подставим $8$ вместо $C$ в $y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $8$ вместо $C$ .

$y = \frac{8 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y = \frac{2^{3} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.2

Перепишем ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ в виде ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$y = \frac{2^{3} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{3}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 2$ и $b = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2^{2} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.4.2

Перемножим экспоненты в ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{1})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.4.3

Упростим.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + | x^{2} + 1 |)}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 7.2.4.4

Изменим порядок членов.

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 + | x^{2} + 1 | - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$