Математический анализ Примеры

$(3 x^{2} - 2 y^{2}) d y - 2 x y d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Этап 2.2

Поскольку $- 2 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 x y$ по $y$ равна $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 x^{2} - 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 y^{2}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 2 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 2 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $6 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x = 6 x$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 2 x = 6 x$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $6 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $- 2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 x - (- 2 x)}{M}$

Этап 5.3

Подставим $- 2 x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- 2 x y$ вместо $M$ .

$\frac{6 x - (- 2 x)}{- 2 x y}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x - (- 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x$ .

$\frac{x \cdot 6 - (- 2 x)}{- 2 x y}$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- (- 2 x)$ .

$\frac{x \cdot 6 + x (- (- 2))}{- 2 x y}$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 6 + x (- (- 2))$ .

$\frac{x (6 - (- 2))}{- 2 x y}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{x (6 + 2)}{- 2 x y}$

Этап 5.3.2.3

Добавим $6$ и $2$ .

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 8}{- 2 x y}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{- 2 y}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $8$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 (4)}{- 2 y}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{2 (4)}{2 (- y)}$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (- y)}$

Этап 5.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{- y}$

Этап 5.3.5

Подставим $- 2 x y$ вместо $M$ .

$- \frac{4}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

Этап 6.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 4 \ln (| y |)$ путем переноса $- 4$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

Этап 6.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

Этап 6.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- 2 x y d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 2 x y$ на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- 2 x y \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 x y$ .

$y (- 2 x) \frac{1}{y^{4}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{4}$ .

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель.

$y (- 2 x) \frac{1}{y \cdot y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.2.4

Перепишем это выражение.

$- 2 x \frac{1}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.3

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x \frac{- 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.4

Объединим $x$ и $\frac{- 2}{y^{3}}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.5

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 7.7

Умножим $3 x^{2} - 2 y^{2}$ на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + (3 x^{2} - 2 y^{2}) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Этап 7.8

Умножим $3 x^{2} - 2 y^{2}$ на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} d x + \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 x}{y^{3}} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = - \frac{2 x}{y^{3}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - \int \frac{2 x}{y^{3}} d x$

Этап 9.2

Поскольку $\frac{2}{y^{3}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{y^{3}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - (\frac{2}{y^{3}} \int x d x)$

Этап 9.3

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \int x d x$

Этап 9.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 9.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перепишем $- \frac{2}{y^{3}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{y^{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 9.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

Этап 9.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = - \frac{2}{2 y^{3}} x^{2} + C$

Этап 9.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{3}} x^{2} + C$

Этап 9.5.2.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $- x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{x^{2}}{y^{3}}$ по $y$ равна $- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}]$ .

$- x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{3}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.2

Перепишем $\frac{1}{y^{3}}$ в виде ${(y^{3})}^{- 1}$ .

$- x^{2} \frac{d}{d y} [{(y^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{3}$ .

$- x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{3}$ .

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{3}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- x^{2} (- {(y^{3})}^{- 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2} (- y^{3 \cdot - 2} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- x^{2} (- y^{- 6} (3 y^{2})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- x^{2} (- 3 y^{- 6} y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.7

Умножим $y^{- 6}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.7.1

Перенесем $y^{2}$ .

$- x^{2} (- 3 (y^{2} y^{- 6})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2} (- 3 y^{2 - 6}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$- x^{2} (- 3 y^{- 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.3.8

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{- 4} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} \frac{1}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{y^{4}}$ .

$x^{2} \frac{3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.5.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3}{y^{4}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.5.2.3

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y^{4}} + \frac{d g}{d y} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 12.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} = \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вычтем $\frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} - \frac{3 x^{2} - 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2} - 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - (3 x^{2}) - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} - (- 2 y^{2})}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.4

Вычтем $3 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.5

Добавим $0$ и $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.6

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{4}} = 0$

Этап 13.1.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.6.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 2}{y^{2} y^{2}} = 0$

Этап 13.1.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2}{y^{2}} = 0$

Этап 13.1.2

Вычтем $\frac{2}{y^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$

Этап 14

Найдем первообразную $- \frac{2}{y^{2}}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - \frac{2}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{2}{y^{2}} d y$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int \frac{2}{y^{2}} d y$

Этап 14.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Этап 14.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Этап 14.6

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (y) = - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Этап 14.7

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Этап 14.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (y) = - 2 \int y^{- 2} d y$

Этап 14.8

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$g (y) = - 2 (- y^{- 1} + C)$

Этап 14.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.9.1

Перепишем $- 2 (- y^{- 1} + C)$ в виде $- 2 (- \frac{1}{y}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{y}) + C$

Этап 14.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.9.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$g (y) = 2 \frac{1}{y} + C$

Этап 14.9.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{2}{y} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{2}{y} + C$