Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = 4 e^{t} - 2$ ; , $x (0) = 1$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d x = (4 e^{t} - 2) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d x = \int 4 e^{t} - 2 d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C_{1} = \int 4 e^{t} - 2 d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x + C_{1} = \int 4 e^{t} d t + \int - 2 d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$x + C_{1} = 4 \int e^{t} d t + \int - 2 d t$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{t}$ по $t$ имеет вид $e^{t}$ .

$x + C_{1} = 4 (e^{t} + C_{2}) + \int - 2 d t$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C_{1} = 4 (e^{t} + C_{2}) - 2 t + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

$x + C_{1} = 4 e^{t} - 2 t + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$x + C_{1} = - 2 t + 4 e^{t} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$x = - 2 t + 4 e^{t} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $t$ и $1$ вместо $x$ в $x = - 2 t + 4 e^{t} + K$ .

$1 = - 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = 1$ .

$- 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K = 1$

Этап 4.2

Упростим $- 2 \cdot 0 + 4 e^{0} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = 1$

Этап 4.2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = 1$

Этап 4.2.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$0 + 4 + K = 1$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$4 + K = 1$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$K = 1 - 4$

Этап 4.3.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$K = - 3$

Этап 5

Подставим $- 3$ вместо $K$ в $x = - 2 t + 4 e^{t} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 3$ вместо $K$ .

$x = - 2 t + 4 e^{t} - 3$