Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = e^{x - t}$

Этап 1

Пусть $v = e^{x - t}$ . Подставим $v$ вместо $e^{x - t}$ для всех.

$\frac{d x}{d t} = v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d t}$ , дифференцируя $e^{x - t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = x - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [x - t]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [x - t]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - t$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} \frac{d}{d t} [x - t]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (\frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d t} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' + \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - \frac{d}{d t} [t])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1 \cdot 1)$

Этап 2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{x - t} (x' - 1)$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{x - t}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (x' - 1)$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} + 1 = v$

Этап 5

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $\frac{d v}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} = v - 1$

Этап 5.1.2

Умножим обе части на $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v - 1) v$

Этап 5.1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d t} = (v - 1) v$

Этап 5.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Упростим $(v - 1) v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d v}{d t} = v \cdot v - 1 v$

Этап 5.1.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.2.1

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - 1 v$

Этап 5.1.3.2.1.2.2

Перепишем $- 1 v$ в виде $- v$ .

$\frac{d v}{d t} = v^{2} - v$

Этап 5.2

Умножим обе части на $\frac{1}{v^{2} - v}$ .

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $v^{2} - v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v^{2} - v} (v^{2} - v)$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v^{2} - v} \frac{d v}{d t} = 1$

Этап 5.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v^{2} - v} d v = 1 d t$

Этап 6

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v^{2} - v} d v = \int d t$

Этап 6.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Вынесем множитель $v$ из $v^{2} - v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $v$ из $v^{2}$ .

$\frac{1}{v \cdot v - v}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $v$ из $- v$ .

$\frac{1}{v \cdot v + v \cdot - 1}$

Этап 6.2.1.1.1.3

Вынесем множитель $v$ из $v \cdot v + v \cdot - 1$ .

$\frac{1}{v (v - 1)}$

Этап 6.2.1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $v (v - 1)$ .

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.4

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (v (v - 1))}{v (v - 1)} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.5

Сократим общий множитель $v - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (v - 1)}{v - 1} = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (v (v - 1))}{v} + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.1.2

Разделим $A (v - 1)$ на $1$ .

$1 = A (v - 1) + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A (v) + A \cdot - 1 + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$1 = A (v) - 1 \cdot A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.5

Сократим общий множитель $v - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A (v) - A + \frac{B (v (v - 1))}{v - 1}$

Этап 6.2.1.1.6.5.2

Разделим $B v$ на $1$ .

$1 = A v - A + B v$

Этап 6.2.1.1.7

Перенесем $- A$ .

$1 = A v + B v - A$

Этап 6.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $v$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 6.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $v$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A$

Этап 6.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Этап 6.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Этап 6.2.1.3.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 6.2.1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 6.2.1.3.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 6.2.1.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Этап 6.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Этап 6.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Этап 6.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Этап 6.2.1.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Этап 6.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = 1 A = - 1$

Этап 6.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = 1, A = - 1$

Этап 6.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{v} + \frac{B}{v - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$- \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}$

Этап 6.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Этап 6.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Этап 6.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Этап 6.2.4

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{v - 1} d v = \int d t$

Этап 6.2.5

Пусть $u_{2} = v - 1$ . Тогда $d u_{2} = d v$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Пусть $u_{2} = v - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Дифференцируем $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Этап 6.2.5.1.2

По правилу суммы производная $v - 1$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 6.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 6.2.5.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $v$ , производная $- 1$ относительно $v$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Этап 6.2.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) + \ln (| u_{2} |) + C_{2} = \int d t$

Этап 6.2.7

Упростим.

$- \ln (| v |) + \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Этап 6.2.8

Изменим порядок членов.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = \int d t$

Этап 6.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) + C_{3} = t + C_{4}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| u_{2} |) - \ln (| v |) = t + C$

Этап 7

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = t + C$

Этап 7.2

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$

Этап 7.3

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |})} = e^{C + t}$

Этап 7.4

Перепишем $\ln (\frac{| u_{2} |}{| v |}) = C + t$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C + t} = \frac{| u_{2} |}{| v |}$

Этап 7.5

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} = e^{C + t}$

Этап 7.5.2

Умножим обе части на $| v |$ .

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Этап 7.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1

Сократим общий множитель $| v |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| u_{2} |}{| v |} | v | = e^{C + t} | v |$

Этап 7.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| u_{2} | = e^{C + t} | v |$

Этап 7.5.4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ .

$e^{C + t} | v | = | u_{2} |$

Этап 7.5.4.2

Разделим каждый член $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ на $e^{C + t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.2.1

Разделим каждый член $e^{C + t} | v | = | u_{2} |$ на $e^{C + t}$ .

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Этап 7.5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C + t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{C + t} | v |}{e^{C + t}} = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Этап 7.5.4.2.2.1.2

Разделим $| v |$ на $1$ .

$| v | = \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Этап 7.5.4.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}$

Этап 8

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок членов.

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}$

Этап 8.2

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}$

Этап 8.3

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$v = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Этап 9

Заменим все вхождения $v$ на $e^{x - t}$ .

$e^{x - t} = \pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x - t}) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Этап 10.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Развернем $\ln (e^{x - t})$ , вынося $x - t$ из логарифма.

$(x - t) \ln (e) = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Этап 10.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(x - t) \cdot 1 = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Этап 10.2.3

Умножим $x - t$ на $1$ .

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}})$

Этап 10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x - t = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}})$

Этап 10.4

Добавим $t$ к обеим частям уравнения.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C + t}}) + t$

Этап 11

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Изменим порядок членов.

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t + C}}) + t$

Этап 11.2

Перепишем $e^{t + C}$ в виде $e^{t} e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{t} e^{C}}) + t$

Этап 11.3

Изменим порядок $e^{t}$ и $e^{C}$ .

$x = \ln (\pm \frac{| u_{2} |}{e^{C} e^{t}}) + t$