Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y = 10$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \cdot 10$

Этап 2.2

Перенесем $10$ влево от $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 10 \cdot e^{x}$

Этап 2.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 10 e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 10 e^{x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 10 e^{x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 10 e^{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} y = \int 10 e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = 10 \int e^{x} d x$

Этап 6.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x} y = 10 (e^{x} + C)$

Этап 6.3

Упростим.

$e^{x} y = 10 e^{x} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{x} y = 10 e^{x} + C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{x} y = 10 e^{x} + C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{10 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{10 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{10 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{10 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2

Разделим $10$ на $1$ .

$y = 10 + \frac{C}{e^{x}}$