Математический анализ Примеры

$2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Этап 1.2

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Этап 1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} - x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $y^{2} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 x$

Этап 2.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = - 2 x$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x = - 2 x$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $2 x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 x y$ вместо $M$ .

$\frac{- 2 x - (2 x)}{2 x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x - 1 \cdot 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x (- 2 - 2)}{2 x y}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{2 y}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

Этап 4.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

Этап 4.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{y}$

Этап 4.3.5

Подставим $2 x y$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$2 x y \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y$ .

$y (2 x) \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$2 x \frac{1}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.4

Объединим $x$ и $\frac{2}{y}$ .

$\frac{x \cdot 2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $y^{2} - x^{2}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $y^{2} - x^{2}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = x$ .

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{2 x}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $\frac{2}{y}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $\frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $\frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{2}{y}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y \cdot 2} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot y} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.3

Умножим $2$ на $y$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.5

Объединим $\frac{1}{y}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} + g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{y} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{2}}{y}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Этап 11.5.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + (- y - x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Развернем $(- y - x) (y - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y (y - x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.3.1.1.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y \cdot y) - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.1.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.3.1.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.1.8

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.2

Вычтем $x y$ из $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.3.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x y - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.2.2

Вычтем $x y$ из $x y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 0 + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.3.3

Добавим $- y^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- x^{2} - y^{2} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2} + 0}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- y^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Этап 13

Найдем первообразную $1$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Этап 13.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = y + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + y + C$