Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{x}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 1 - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 1 - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| 1 - y |) - \ln (| x |) = C$

Этап 3.2

Добавим $\ln (| x |)$ к обеим частям уравнения.

$- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- \ln (| 1 - y |) = C + \ln (| x |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $\ln (| 1 - y |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Этап 3.3.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \ln (| x |)$ в виде $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C - \ln (| x |)$

Этап 3.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 - y |) + \ln (| x |) = - C$

Этап 3.5

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y | | x |) = - C$

Этап 3.6

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (1 - y) x |) = - C$

Этап 3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 x - y x |) = - C$

Этап 3.8

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (| x - y x |) = - C$

Этап 3.9

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| x - y x |)} = e^{- C}$

Этап 3.10

Перепишем $\ln (| x - y x |) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - y x |$

Этап 3.11

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Перепишем уравнение в виде $| x - y x | = e^{- C}$ .

$| x - y x | = e^{- C}$

Этап 3.11.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - y x = \pm e^{- C}$

Этап 3.11.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- y x = \pm e^{- C} - x$

Этап 3.11.4

Разделим каждый член $- y x = \pm e^{- C} - x$ на $- x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Разделим каждый член $- y x = \pm e^{- C} - x$ на $- x$ .

$\frac{- y x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 3.11.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 3.11.4.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 3.11.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 3.11.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.3.1.1

Упростим $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 3.11.4.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Этап 3.11.4.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Этап 3.11.4.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C}{x} + 1$