Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} + 4)}^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} + 4)}^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(e^{x} + 4)}^{2}$ в виде $(e^{x} + 4) (e^{x} + 4)$ .

$y + C_{1} = \int (e^{x} + 4) (e^{x} + 4) d x$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(e^{x} + 4) (e^{x} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} + 4) + 4 (e^{x} + 4) d x$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 4 + 4 (e^{x} + 4) d x$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Этап 2.3.1.3.1.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} \cdot 4 + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 4 \cdot e^{x} + 4 e^{x} + 4 \cdot 4 d x$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 e^{x} + 16 d x$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $4 e^{x}$ и $4 e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 8 e^{x} + 16 d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Этап 2.3.3

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.3.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Этап 2.3.4

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Этап 2.3.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int 8 e^{x} d x + \int 16 d x$

Этап 2.3.7

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 \int e^{x} d x + \int 16 d x$

Этап 2.3.8

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 (e^{x} + C_{3}) + \int 16 d x$

Этап 2.3.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 8 (e^{x} + C_{3}) + 16 x + C_{4}$

Этап 2.3.10

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + 8 e^{x} + 16 x + C_{5}$

Этап 2.3.11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 8 e^{x} + 16 x + C_{5}$

Этап 2.3.12

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 16 x + 8 e^{x} + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 16 x + 8 e^{x} + K$