Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} = x y e^{y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (x y e^{y^{2}})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y e^{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (x (y e^{y^{2}}))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (x (y e^{y^{2}}))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = y e^{y^{2}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{x} d x = y e^{y^{2}} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{x} d x = \int y e^{y^{2}} d y$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int y e^{y^{2}} d y$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = y^{2}$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = y^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| x |) = \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| x |)} = e^{\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| x |) = \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C} = | x |$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| x | = e^{\frac{1}{2} \cdot e^{y^{2}} + C}$ .

$| x | = e^{\frac{1}{2} \cdot e^{y^{2}} + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{y^{2}}$ .

$| x | = e^{\frac{e^{y^{2}}}{2} + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm e^{\frac{e^{y^{2}}}{2} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{\frac{e^{y^{2}}}{2} + C}$ в виде $e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}} e^{C}$ .

$x = \pm e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}}$ и $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$x = C e^{\frac{e^{y^{2}}}{2}}$