Математический анализ Примеры

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2} + 2 x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 1.3

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

Этап 1.5

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Этап 1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $2 y$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 y = 0$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y + 0}{N}$

Этап 4.3

Подставим $2 y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 y$ вместо $N$ .

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $2 y + 0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

Этап 4.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

Этап 4.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (y) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Этап 4.3.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

Этап 4.3.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

Этап 4.3.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 0}{y}$

Этап 4.3.3

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{y}{y}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Этап 5.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{2} + y^{2} + 2 x$ на $e^{x}$ .

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $2 y$ на $e^{x}$ .

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = 2 y e^{x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $2 e^{x}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2 e^{x}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Объединим $\frac{2}{2}$ и $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.3.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $e^{x} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $e^{x} y^{2}$ по $x$ равна $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 11.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $y^{2} e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вычтем $y^{2} e^{x}$ из $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

Этап 12.1.2.2

Добавим $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 13

Найдем первообразную $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Этап 13.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 13.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 13.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 13.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 13.7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 13.8

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 13.9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Этап 13.10

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Этап 13.11

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Этап 13.12

Упростим.

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

Этап 15.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

Этап 15.2

Объединим противоположные члены в $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Добавим $- 2 x e^{x}$ и $2 x e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

Этап 15.2.2

Добавим $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ и $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

Этап 15.2.3

Вычтем $2 e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

Этап 15.2.4

Добавим $e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ и $0$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

Этап 15.3

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$