Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} y$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 2} y)$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{x}{x + 2} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $x$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x$

$0$

Этап 2.3.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

Этап 2.3.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

Этап 2.3.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 2$ .

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

Этап 2.3.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

Этап 2.3.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 2.3.7

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.3.7.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.7.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3})$

Этап 2.3.9

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| u |) + C_{4}$

Этап 2.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |) = x + C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Упростим $2 \ln (| x + 2 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y |) + \ln ({| x + 2 |}^{2}) = x + C$

Этап 3.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x + 2 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x + C$

Этап 3.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x + C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ .

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ на ${(x + 2)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ на ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Разделим $| y |$ на $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{x + C}$ в виде $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$