Математический анализ Примеры

$(x^{2} + y^{2} + y) d x + (2 x y + x + e^{y}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2} + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 1$

Этап 1.6

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 x y + x + e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x + e^{y}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $2 x y + x + e^{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 2.4.2

Поскольку $e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $e^{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1 + 0$

Этап 2.4.3

Добавим $2 y + 1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 y + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 y + 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y + 1 = 2 y + 1$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 y + 1 = 2 y + 1$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + y^{2} + y d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x^{2} d x + \int y^{2} d x + \int y d x$

Этап 5.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int y^{2} d x + \int y d x$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + \int y d x$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + C + y^{2} x + C + y x + C$

Этап 5.5

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8.2.2

Поскольку $\frac{1}{3} x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y^{2} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8.3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x y + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 2 x y + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$0 + 2 x y + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $0$ и $2 x y$ .

$2 x y + x + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 8.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y + x = 2 x y + x + e^{y}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + x = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y$

Этап 9.1.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$

Этап 9.1.3

Объединим противоположные члены в $2 x y + x + e^{y} - 2 x y - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вычтем $2 x y$ из $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} + 0 - x$

Этап 9.1.3.2

Добавим $x + e^{y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x + e^{y} - x$

Этап 9.1.3.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + e^{y}$

Этап 9.1.3.4

Добавим $0$ и $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{y}$

Этап 10

Найдем первообразную $e^{y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{y} d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{y} d y$

Этап 10.3

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$g (y) = e^{y} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + y x + e^{y} + C$