Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 8 x$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $\frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (x)}$

Этап 1.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{2})}$

Этап 1.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{2}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (8 x)$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (8 x)$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (8 x)$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (8 x)$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (8 x)$

Этап 2.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (8 x)$

Этап 2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 8 x^{2} x$

Этап 2.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 8 (x \cdot x^{2})$

Этап 2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 8 (x^{1} x^{2})$

Этап 2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 8 x^{1 + 2}$

Этап 2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 8 x^{3}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 8 x^{3}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 8 x^{3} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int 8 x^{3} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$x^{2} y = 8 \int x^{3} d x$

Этап 6.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 6.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ в виде $8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$x^{2} y = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Этап 6.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{8}{4} x^{4} + C$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x^{2} y = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} + C$

Этап 6.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$x^{2} y = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} + C$

Этап 6.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} y = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C$

Этап 6.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} y = \frac{2}{1} x^{4} + C$

Этап 6.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$x^{2} y = 2 x^{4} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $x^{2} y = 2 x^{4} + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x^{2} y = 2 x^{4} + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{2 x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{2 x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (2 x^{2})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{x^{2} (2 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2} (2 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7.3.1.2.4

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$