Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} + 4 y = 11$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 4 d t}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{4 t + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{4 t}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{4 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + e^{4 t} (4 y) = e^{4 t} \cdot 11$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = e^{4 t} \cdot 11$

Этап 2.3

Перенесем $11$ влево от $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 11 \cdot e^{4 t}$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 11 e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 y e^{4 t} = 11 e^{4 t}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} y] = 11 e^{4 t}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{4 t} y] d t = \int 11 e^{4 t} d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{4 t} y = \int 11 e^{4 t} d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $11$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $11$ из-под знака интеграла.

$e^{4 t} y = 11 \int e^{4 t} d t$

Этап 6.2

Пусть $u = 4 t$ . Тогда $d u = 4 d t$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = 4 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Дифференцируем $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Этап 6.2.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 6.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 6.2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 6.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{4 t} y = 11 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Этап 6.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 t} y = 11 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 6.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$e^{4 t} y = 11 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Этап 6.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $11$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} \int e^{u} d u$

Этап 6.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} (e^{u} + C)$

Этап 6.7

Упростим.

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{u} + C$

Этап 6.8

Заменим все вхождения $u$ на $4 t$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$ на $e^{4 t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$ на $e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{4 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $e^{4 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Этап 7.3.1.2

Разделим $\frac{11}{4}$ на $1$ .

$y = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$