Математический анализ Примеры

$x d y + (y + 2 y x^{2} - 2 x) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$(y + 2 y x^{2} - 2 x) d x + x d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y + 2 y x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y + 2 y x^{2} - 2 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $y + 2 y x^{2} - 2 x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $2 y x^{2}$ по $y$ равна $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Этап 2.4

Поскольку $- 2 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2} + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $1 + 2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 2 x^{2}$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 x^{2} + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} + 1 = 1$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x^{2} + 1 = 1$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $2 x^{2} + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 - 1}{N}$

Этап 5.3

Подставим $x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x$ вместо $N$ .

$\frac{2 x^{2} + 1 - 1}{x}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 0}{x}$

Этап 5.3.2.2

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 x^{2}}{x}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x)}{x}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (2 x)}{x^{1}}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Этап 5.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

Этап 5.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x}{1}$

Этап 5.3.3.2.5

Разделим $2 x$ на $1$ .

$2 x$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 x d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int 2 x d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{2 \int x d x}$

Этап 6.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 6.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ в виде $e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$

Этап 6.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Этап 6.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$μ (x, y) = e^{1 x^{2}} + C$

Этап 6.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$μ (x, y) = e^{x^{2}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $(y + 2 y x^{2} - 2 x) d x + x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $y + 2 y x^{2} - 2 x$ на $e^{x^{2}}$ .

$(y + 2 y x^{2} - 2 x) e^{x^{2}} d x + x d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}) d x + x d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $x$ на $e^{x^{2}}$ .

$(y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}) d x + x e^{x^{2}} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = x e^{x^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y + g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $x e^{x^{2}} y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x e^{x^{2}} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$y (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$y (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.10

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$y (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.3.11

Умножим $e^{x^{2}}$ на $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + y e^{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 12.5.3

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $2 x^{2} y e^{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x^{2}} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}}$

Этап 13.1.2

Вычтем $y e^{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

Этап 13.1.3

Объединим противоположные члены в $y e^{x^{2}} + 2 y x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $2 y x^{2} e^{x^{2}}$ и $- 2 x^{2} y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y - 2 x e^{x^{2}} - 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y e^{x^{2}}$

Этап 13.1.3.2

Вычтем $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ из $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} + 0 - y e^{x^{2}}$

Этап 13.1.3.3

Добавим $y e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

Этап 13.1.3.4

Вычтем $y e^{x^{2}}$ из $y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x e^{x^{2}} + 0$

Этап 13.1.3.5

Добавим $- 2 x e^{x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x e^{x^{2}}$

Этап 14

Найдем первообразную $- 2 x e^{x^{2}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - 2 x e^{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x e^{x^{2}} d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x e^{x^{2}} d x$

Этап 14.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - 2 \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 14.4

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1.1

Дифференцируем $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 14.4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 14.4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 14.4.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 14.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Этап 14.4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Этап 14.4.1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Этап 14.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$g (x) = - 2 \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 14.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$

Этап 14.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) u_{2} + C$

Этап 14.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} u_{2} + C$

Этап 14.6.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} u_{2} + C$

Этап 14.6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u_{2} + C$

Этап 14.6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u_{2} + C$

Этап 14.6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (x) = \frac{- 1}{1} u_{2} + C$

Этап 14.6.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$g (x) = - u_{2} + C$

Этап 14.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x^{2}}$ .

$g (x) = - e^{x^{2}} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x e^{x^{2}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} + C$

Этап 16

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$