Математический анализ Примеры

$x (f {(x)}^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x^{1} x^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Этап 1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f x^{1 + 3} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Этап 1.1.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ на $f x^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ на $f x^{4}$ .

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{f}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{f}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \frac{\ln (x)}{x^{4}} d x$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{4 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{- 4} d x$

Этап 2.3.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (\ln (x) (- \frac{1}{3 x^{3}}) - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.4.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{x (3 x^{3})} d x)$

Этап 2.3.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 (x^{1} x^{3})} d x)$

Этап 2.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{1 + 3}} d x)$

Этап 2.3.4.5

Добавим $1$ и $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - - \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + 1 \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Этап 2.3.6.2

Умножим $\int \frac{1}{3 x^{4}} d x$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Этап 2.3.8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int {(x^{4})}^{- 1} d x)$

Этап 2.3.8.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{4 \cdot - 1} d x)$

Этап 2.3.8.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{- 4} d x)$

Этап 2.3.9

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2}))$

Этап 2.3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2}))$

Этап 2.3.10.1.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$

Этап 2.3.10.2

Перепишем $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$ в виде $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$

Этап 2.3.11

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + K$