Математический анализ Примеры

$\frac{d q}{d t} + q = 4 \cos (2 t)$ , $q (0) = 1$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d t}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{t + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{t}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = e^{t} (4 \cos (2 t))$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Этап 2.3

Изменим порядок множителей в $e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$ .

$e^{t} \frac{d q}{d t} + q e^{t} = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{t} q] = 4 e^{t} \cos (2 t)$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} q] d t = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{t} q = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$e^{t} q = 4 \int e^{t} \cos (2 t) d t$

Этап 6.2

Изменим порядок $e^{t}$ и $\cos (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 \int \cos (2 t) e^{t} d t$

Этап 6.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (2 t)$ и $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - \int e^{t} (- 2 \sin (2 t)) d t)$

Этап 6.4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - (- 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t))$

Этап 6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t)$

Этап 6.5.2

Изменим порядок $e^{t}$ и $\sin (2 t)$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int \sin (2 t) e^{t} d t)$

Этап 6.6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (2 t)$ и $d v = e^{t}$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - \int e^{t} (2 \cos (2 t)) d t))$

Этап 6.7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - (2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)))$

Этап 6.8

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Этап 6.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) + 2 (- 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

Этап 6.8.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) - 4 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)$

Этап 6.9

Найдя решение для $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ , получим $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ = $\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5}$ .

$e^{t} q = 4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5} + C)$

Этап 6.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Перепишем $4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}}{5} + C)$ в виде $4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$ .

$e^{t} q = 4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$

Этап 6.10.2

Упростим.

$e^{t} q = \frac{4}{5} e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ на $e^{t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ на $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $q$ на $1$ .

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.3.1.1.2

Разделим $\frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ на $1$ .

$q = \frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$q = \frac{4}{5} \cos (2 t) + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.3.1.3

Объединим $\frac{4}{5}$ и $\cos (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.3.1.4

Умножим $\frac{4}{5} (2 \sin (2 t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{4}{5}$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.3.1.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.3.1.4.3

Объединим $\frac{8}{5}$ и $\sin (2 t)$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 8

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $t$ и $1$ вместо $q$ в $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ .

$1 = \frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$

Этап 9

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$ .

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Этап 9.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{4 \cos (0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Этап 9.2.1.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Этап 9.2.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Этап 9.2.1.2.4

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{4 + 8 \sin (0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Этап 9.2.1.2.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{4 + 8 \cdot 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Этап 9.2.1.2.6

Умножим $8$ на $0$ .

$\frac{4 + 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Этап 9.2.1.3

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Этап 9.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.4.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{4}{5} + \frac{C}{1} = 1$

Этап 9.2.1.4.2

Разделим $C$ на $1$ .

$\frac{4}{5} + C = 1$

Этап 9.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вычтем $\frac{4}{5}$ из обеих частей уравнения.

$C = 1 - \frac{4}{5}$

Этап 9.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$C = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Этап 9.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$C = \frac{5 - 4}{5}$

Этап 9.3.4

Вычтем $4$ из $5$ .

$C = \frac{1}{5}$

Этап 10

Подставим $\frac{1}{5}$ вместо $C$ в $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подставим $\frac{1}{5}$ вместо $C$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{e^{t}}$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e^{t}}$

Этап 10.2.2

Объединим.

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 e^{t}}$

Этап 10.2.3

Умножим $1$ на $1$ .

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5 e^{t}}$