Математический анализ Примеры

$y \frac{d y}{d x} - (1 + y) x^{2} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 \cdot 1 - y) x^{2} = 0$

Этап 1.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 - y) x^{2} = 0$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y \frac{d y}{d x} - 1 x^{2} - y x^{2} = 0$

Этап 1.1.1.4

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} - x^{2} - y x^{2} = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$y \frac{d y}{d x} - y x^{2} = x^{2}$

Этап 1.1.2.2

Добавим $y x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$

Этап 1.1.3

Разделим каждый член $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разделим каждый член $y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ на $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Этап 1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Этап 1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + x^{2}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $\frac{x^{2}}{y} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $\frac{x^{2}}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2}$

Этап 1.2.1.2

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + 1)$

Этап 1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + \frac{y}{y})$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1 + y}{y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} (x^{2} \frac{1 + y}{y})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x^{2} (1 + y))$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вынесем множитель $1 + y$ из $x^{2} (1 + y)$ .

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Этап 1.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

Этап 1.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{1 + y} d y = x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{1 + y} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок $1$ и $y$ .

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.2

Разделим $y$ на $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Этап 2.2.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Этап 2.2.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Этап 2.2.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Этап 2.2.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Этап 2.2.2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.6

Пусть $u = y + 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Пусть $u = y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.6.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.6.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.8

Упростим.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.9

Заменим все вхождения $u$ на $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$