Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{3 + y}$ .

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $3 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{3 + y} d y = \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{3 + y} d y = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 3 + y$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 3 + y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $3 + y$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $3 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 + y$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = 1 - 2 x$ . Тогда $d u_{2} = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = 1 - 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.3.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 2.3.1.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2.3

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - 2 x$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\ln (| 1 - 2 x |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 3 + y |) + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Этап 3.3

Чтобы записать $\ln (| 3 + y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\ln (| 3 + y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (| 3 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Этап 3.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим $\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Упростим $2 \ln (| 3 + y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| 3 + y |}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| 3 + y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |) = C$

Этап 3.6.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.4

Применим правило умножения к ${(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |$ .

$\ln ({({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5

Перемножим экспоненты в ${({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln ({(3 + y)}^{1} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.6

Упростим.

$\ln ((3 + y) {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Этап 3.8

Перепишем $\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Этап 3.9.2

Вычтем $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.3

Разделим каждый член $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ на ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Разделим каждый член $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ на ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9.3.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$