Математический анализ Примеры

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Этап 1.1.1.2

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

Этап 1.1.2

Добавим $2 x y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = 2 x y$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ на $1 + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.5.3

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $| 1 + x^{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | 1 + x^{2} |$ .

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | 1 + x^{2} |$