Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} y$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} y$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{x + C}$ .

$| y | = e^{x + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{x + C}$ в виде $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{x}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = C e^{x}$ .

$1 = C e^{0}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C e^{0} = 1$ .

$C e^{0} = 1$

Этап 6.2

Упростим $C e^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$C \cdot 1 = 1$

Этап 6.2.2

Умножим $C$ на $1$ .

$C = 1$

Этап 7

Подставим $1$ вместо $C$ в $y = C e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $1$ вместо $C$ .

$y = 1 e^{x}$

Этап 7.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$y = e^{x}$