Математический анализ Примеры

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x e^{x + y}$

Этап 1

Пусть $v = e^{x + y}$ . Подставим $v$ вместо $e^{x + y}$ для всех.

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $e^{x + y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + y')$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 + y')$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 0) = x v$

Этап 4.2

Добавим $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ и $0$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v}) = x v$

Этап 5

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим обе части на $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Этап 5.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Этап 5.1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = x v \cdot v$

Этап 5.1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1.1

Перенесем $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v \cdot v)$

Этап 5.1.2.2.1.2

Умножим $v$ на $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x v^{2}$

Этап 5.2

Умножим обе части на $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $v^{2}$ из $x v^{2}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = x$

Этап 5.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v^{2}} d v = x d x$

Этап 6

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int x d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем $v^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int x d x$

Этап 6.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int x d x$

Этап 6.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int x d x$

Этап 6.2.2

По правилу степени интеграл $v^{- 2}$ по $v$ имеет вид $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

Этап 6.2.3

Перепишем $- v^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int x d x$

Этап 6.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 7

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Этап 7.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$v, 2, 1$

Этап 7.2.2

Так как $v, 2, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 2, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $v^{1}$ .

Этап 7.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 7.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 7.2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 7.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 7.2.7

НОК $1, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 7.2.8

Множителем $v^{1}$ является само значение $v$ .

$v^{1} = v$

$v$ встречается $1$ раз.

Этап 7.2.9

НОК $v^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$v$

Этап 7.2.10

НОК $v, 2, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 v$

Этап 7.3

Каждый член в $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ умножим на $2 v$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ на $2 v$ .

$- \frac{1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{v}$ в числитель.

$\frac{- 1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Этап 7.3.2.1.2

Вынесем множитель $v$ из $2 v$ .

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Этап 7.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Этап 7.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Этап 7.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Этап 7.3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Этап 7.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 2 = x^{2} v + K (2 v)$

Этап 7.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = x^{2} v + 2 K v$

Этап 7.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} v + 2 K v = - 2$ .

$x^{2} v + 2 K v = - 2$

Этап 7.4.2

Вынесем множитель $v$ из $x^{2} v + 2 K v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вынесем множитель $v$ из $x^{2} v$ .

$v x^{2} + 2 K v = - 2$

Этап 7.4.2.2

Вынесем множитель $v$ из $2 K v$ .

$v (x^{2}) + v (2 K) = - 2$

Этап 7.4.2.3

Вынесем множитель $v$ из $v (x^{2}) + v (2 K)$ .

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$

Этап 7.4.3

Разделим каждый член $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ на $x^{2} + 2 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Разделим каждый член $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ на $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Этап 7.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Этап 7.4.3.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Этап 7.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

Этап 8

Упростим постоянную интегрирования.

$v = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Этап 9

Заменим все вхождения $v$ на $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Этап 10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Этап 10.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Развернем $\ln (e^{x + y})$ , вынося $x + y$ из логарифма.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Этап 10.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Этап 10.2.3

Умножим $x + y$ на $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Этап 10.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K}) - x$