Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} = 2 y + x + 3$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d x}{d y} - x = 2 y + 3$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (y) d y}$ , где $P (y) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 1 d y}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- y + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- y}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + e^{- y} \cdot 3$

Этап 3.3.2

Перенесем $3$ влево от $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Этап 7.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- y} x = 2 \int y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Этап 7.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Этап 7.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Этап 7.5.2

Умножим $\int e^{- y} d y$ на $1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Этап 7.6

Пусть $u_{1} = - y$ . Тогда $d u_{1} = - d y$ , следовательно $- d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Пусть $u_{1} = - y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 7.6.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 7.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 7.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Этап 7.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Этап 7.8

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 3 e^{- y} d y$

Этап 7.9

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int e^{- y} d y$

Этап 7.10

Пусть $u_{2} = - y$ . Тогда $d u_{2} = - d y$ , следовательно $- d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Пусть $u_{2} = - y$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 7.10.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 7.10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 7.10.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7.10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 7.12

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.13

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 (e^{u_{2}} + C)$

Этап 7.14

Упростим.

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Этап 7.15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Этап 7.15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ на $e^{- y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ на $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Этап 8.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 (- y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Этап 8.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = \frac{- 2 (y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Этап 8.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 2 e^{- y} - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Этап 8.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вычтем $3 e^{- y}$ из $- 2 e^{- y}$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Этап 8.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Этап 8.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 e^{- y}$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Этап 8.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y})$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Этап 8.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $C$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)}{e^{- y}}$

Этап 8.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)$ .

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Этап 8.3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.7.1

Перепишем $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ в виде $- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ .

$x = \frac{- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Этап 8.3.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C}{e^{- y}}$