Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \csc (y)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\cos (x) \csc (y))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\csc (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\csc (y)$ из $\cos (x) \csc (y)$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Выразим $\csc (y)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.1.3

Умножим $\sin (y)$ на $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\sin (y)$ по $y$ имеет вид $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sin (x) + K = - \cos (y)$ .

$\sin (x) + K = - \cos (y)$

Этап 3.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - \cos (y) - K$

Этап 3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$x = \arcsin (- \cos (y) - K)$

Этап 3.4

Перепишем уравнение в виде $\arcsin (- \cos (y) - K) = x$ .

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

Этап 3.5

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\cos (y)$ из арксинуса.

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

Этап 3.6

Добавим $K$ к обеим частям уравнения.

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Этап 3.7

Разделим каждый член $- \cos (y) = \sin (x) + K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Разделим каждый член $- \cos (y) = \sin (x) + K$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.7.2.2

Разделим $\cos (y)$ на $1$ .

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.7.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.7.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

Этап 3.7.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot K$ в виде $- K$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

Этап 3.8

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

Этап 3.9

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

Этап 3.10

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\cos (y)$ из арксинуса.

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

Этап 3.11

Добавим $K$ к обеим частям уравнения.

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Этап 3.12

Разделим каждый член $- \cos (y) = \sin (x) + K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Разделим каждый член $- \cos (y) = \sin (x) + K$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.12.2.2

Разделим $\cos (y)$ на $1$ .

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.12.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.12.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

Этап 3.12.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot K$ в виде $- K$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

Этап 3.13

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \arccos (- \sin (x) + K)$