Математический анализ Примеры

$(1 + e^{x}) (y d) y = e^{x} d x$

Этап 1

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $1 + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $1 + e^{x}$ из $(1 + e^{x}) y$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) (y)) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Этап 2.1.3

Перепишем это выражение.

$y d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{1 + e^{x}}$ и $e^{x}$ .

$y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Пусть $u = 1 + e^{x}$ . Тогда $d u = e^{x} d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Пусть $u = 1 + e^{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Дифференцируем $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Этап 3.3.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.3.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Этап 3.3.1.1.4

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$e^{x}$

Этап 3.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 3.3.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + e^{x} |) + 2 C$

Этап 4.3

Упростим $2 \ln (| 1 + e^{x} |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y^{2} = \ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

Этап 4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

Этап 4.5

Уберем знак модуля в ${| 1 + e^{x} |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Этап 4.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Этап 4.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Этап 4.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Этап 5

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$