Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d s = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d s = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{1} = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = 12 \int t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 2 t^{2} - 1$ . Тогда $d u = 4 t d t$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 2 t^{2} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $2 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $2 t^{2} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{2}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$4 t + 0$

Этап 2.3.2.1.4.2

Добавим $4 t$ и $0$ .

$4 t$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{4} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $u^{3}$ и $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{4} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $12$ .

$s + C_{1} = \frac{12}{4} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$s + C_{1} = \frac{3}{1} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.5.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$s + C_{1} = 3 \int u^{3} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ в виде $3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{3}{4} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $2 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$s = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + K$