Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Этап 1

Запишем задачу в виде математического выражения.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}$

Этап 2.3

Перепишем уравнение.

$y d y = 3 t^{2} d t$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int 3 t^{2} d t$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Этап 3.3.2

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Этап 3.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ в виде $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Этап 3.3.3.2.3

Умножим $t^{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = t^{3} + K$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (t^{3} + K)$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (t^{3} + K)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 t^{3} + 2 K$

Этап 4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{2 t^{3} + 2 K}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 t^{3} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (t^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Этап 4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Этап 4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Этап 5

Так как $y$ принимает неотрицательные значения при начальном условии $(2, 0)$ , рассмотрим $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $2$ вместо $t$ , а $0$ вместо $y$ .

$0 = \sqrt{2 (2^{3} + K)}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$ .

$\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$

Этап 6.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 (2^{3} + K)}}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (2^{3} + K)}$ в виде ${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 (2^{3} + K))}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

${(2 (8 + K))}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 \cdot 8 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.3.1

Умножим $2$ на $8$ .

${(16 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.1.3.2

Упростим.

$16 + 2 K = 0^{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$16 + 2 K = 0$

Этап 6.4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$2 K = - 16$

Этап 6.4.2

Разделим каждый член $2 K = - 16$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Разделим каждый член $2 K = - 16$ на $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Этап 6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Этап 6.4.2.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{- 16}{2}$

Этап 6.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Разделим $- 16$ на $2$ .

$K = - 8$

Этап 7

Подставим $- 8$ вместо $K$ в $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $- 8$ вместо $K$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 8)}$

Этап 7.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 2^{3})}$

Этап 7.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = t$ и $b = 2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + t \cdot 2 + 2^{2}))}$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 \cdot t + 2^{2}))}$

Этап 7.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 t + 4))}$

$y = \sqrt{2 (t - 2) (t^{2} + 2 t + 4)}$