Математический анализ Примеры

$x y d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 1.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Этап 1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - (x^{2} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2})]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x^{2} + y^{2})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.5

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = - 2 x$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x = - 2 x$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x - x}{M}$

Этап 4.3

Подставим $x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x y$ вместо $M$ .

$\frac{- 2 x - x}{x y}$

Этап 4.3.2

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 3 x}{x y}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{x y}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{y}$

Этап 4.3.4

Подставим $x y$ вместо $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 3 \ln (| y |)$ путем переноса $- 3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Этап 5.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $x y d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x y$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x y \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$x \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 6.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $- (x^{2} + y^{2})$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x}{y^{2}} d x + (- x^{2} - y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $- x^{2} - y^{2}$ на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- x^{2} - y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Этап 6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Этап 6.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Этап 6.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Этап 6.10

Перепишем $- (x^{2} + y^{2})$ в виде $- 1 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

Этап 6.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x}{y^{2}} d x - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $\frac{1}{y^{2}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{y^{2}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $\frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2} \cdot 2} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot y^{2}} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.3

Умножим $2$ на $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.4

Объединим $\frac{1}{2 y^{2}}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $\frac{x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ по $y$ равна $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{y^{2}}$ в виде ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.10

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.11

Объединим $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ и $y^{- 3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.12

Перенесем $y^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.13

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{2})}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Добавим $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Добавим $0$ и $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2}}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{2} y} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{2} y} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y} = 0$

Этап 12.1.2

Вычтем $\frac{1}{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

Этап 13

Найдем первообразную $- \frac{1}{y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

Этап 13.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

Этап 13.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

Этап 13.5

Упростим.

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - \ln (| y |) + C$