Математический анализ Примеры

$(y + 4) d x + x d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(y + 4) d x$ из обеих частей уравнения.

$x d y = - (y + 4) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x (y + 4)}$ .

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x (y + 4)}$ в числитель.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y + 4$ из $x (y + 4)$ .

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u = y + 4$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u = y + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Этап 4.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 4$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.2.1.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y + 4$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 4 | | x |) = C$

Этап 5.3

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (y + 4) x |) = C$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y x + 4 x |) = C$

Этап 5.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y x + 4 x |)} = e^{C}$

Этап 5.6

Перепишем $\ln (| y x + 4 x |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x + 4 x |$

Этап 5.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перепишем уравнение в виде $| y x + 4 x | = e^{C}$ .

$| y x + 4 x | = e^{C}$

Этап 5.7.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y x + 4 x = \pm e^{C}$

Этап 5.7.3

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$y x = \pm e^{C} - 4 x$

Этап 5.7.4

Разделим каждый член $y x = \pm e^{C} - 4 x$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.4.1

Разделим каждый член $y x = \pm e^{C} - 4 x$ на $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Этап 5.7.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Этап 5.7.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Этап 5.7.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.4.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Этап 5.7.4.3.1.2

Разделим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} - 4$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C}{x} - 4$