Математический анализ Примеры

$\frac{d P}{d t} = \frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $P$ из $\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $P$ из $\frac{1}{10} P$ .

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

Этап 2.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $P$ из $- \frac{1}{5000} P^{2}$ .

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

Этап 2.2.1.1.1.3

Вынесем множитель $P$ из $P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

Этап 2.2.1.1.2

Объединим $P$ и $\frac{1}{5000}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Этап 2.2.1.1.3

Чтобы записать $\frac{1}{10}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{500}{500}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} \cdot \frac{500}{500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Этап 2.2.1.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $5000$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Умножим $\frac{1}{10}$ на $\frac{500}{500}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{10 \cdot 500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Этап 2.2.1.1.4.2

Умножим $10$ на $500$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{5000} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Этап 2.2.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{P \frac{500 - P}{5000}} d P = \int d t$

Этап 2.2.1.2

Объединим $P$ и $\frac{500 - P}{5000}$ .

$\int \frac{1}{\frac{P (500 - P)}{5000}} d P = \int d t$

Этап 2.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\int 1 \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Этап 2.2.1.4

Умножим $\frac{5000}{P (500 - P)}$ на $1$ .

$\int \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Этап 2.2.2

Поскольку $5000$ — константа по отношению к $P$ , вынесем $5000$ из-под знака интеграла.

$5000 \int \frac{1}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Этап 2.2.3

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $P (500 - P)$ .

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.3

Сократим общий множитель $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.4

Сократим общий множитель $500 - P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.5.1

Сократим общий множитель $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.5.1.2

Разделим $A (500 - P)$ на $1$ .

$1 = A (500 - P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 500 + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.5.3

Перенесем $500$ влево от $A$ .

$1 = 500 \cdot A + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 500 \cdot A - A P + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.5.5

Сократим общий множитель $500 - P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = 500 A - A P + \frac{B (P (500 - P))}{500 - P}$

Этап 2.2.3.1.5.5.2

Разделим $(B) (P)$ на $1$ .

$1 = 500 A - A P + (B) (P)$

$1 = 500 A - A P + B P$

Этап 2.2.3.1.6

Перенесем $500 A$ .

$1 = - A P + B P + 500 A$

Этап 2.2.3.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $P$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.3.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $P$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 500 A$

Этап 2.2.3.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

Этап 2.2.3.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 500 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $500 A = 1$ .

$500 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.3.3.1.2

Разделим каждый член $500 A = 1$ на $500$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1.2.1

Разделим каждый член $500 A = 1$ на $500$ .

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.3.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.3.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.3.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{500}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $\frac{1}{500}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{500}) + B$

$A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.2.1

Перепишем $- 1 (\frac{1}{500})$ в виде $- (\frac{1}{500})$ .

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.3.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - \frac{1}{500} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{500} + B = 0$ .

$- \frac{1}{500} + B = 0$

$A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.3.3.3.2

Добавим $\frac{1}{500}$ к обеим частям уравнения.

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.3.3.4

Решим систему уравнений.

$B = \frac{1}{500} A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.3.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{500}, A = \frac{1}{500}$

Этап 2.2.3.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{500}}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Этап 2.2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{500} \cdot \frac{1}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Этап 2.2.3.5.2

Умножим $\frac{1}{500}$ на $\frac{1}{P}$ .

$\frac{1}{500 P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Этап 2.2.3.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{500 P} + \frac{1}{500} \cdot \frac{1}{500 - P}$

Этап 2.2.3.5.4

Умножим $\frac{1}{500}$ на $\frac{1}{500 - P}$ .

$5000 \int \frac{1}{500 P} + \frac{1}{500 (500 - P)} d P = \int d t$

Этап 2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$5000 (\int \frac{1}{500 P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Этап 2.2.5

Поскольку $\frac{1}{500}$ — константа по отношению к $P$ , вынесем $\frac{1}{500}$ из-под знака интеграла.

$5000 (\frac{1}{500} \int \frac{1}{P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{P}$ по $P$ имеет вид $\ln (| P |)$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Этап 2.2.7

Поскольку $\frac{1}{500}$ — константа по отношению к $P$ , вынесем $\frac{1}{500}$ из-под знака интеграла.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{1}{500 - P} d P) = \int d t$

Этап 2.2.8

Пусть $u = 500 - P$ . Тогда $d u = - d P$ , следовательно $- d u = d P$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Пусть $u = 500 - P$ . Найдем $\frac{d u}{d P}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.8.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{- 1}{u} d u) = \int d t$

Этап 2.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int - \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Этап 2.2.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Этап 2.2.11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- (\ln (| u |) + C_{2}))) = \int d t$

Этап 2.2.12

Упростим.

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| u |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.13

Заменим все вхождения $u$ на $500 - P$ .

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| 500 - P |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$5000 \frac{\ln (| P |) - \ln (| 500 - P |)}{500} + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.14.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5000 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.14.3

Сократим общий множитель $500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.3.1

Вынесем множитель $500$ из $5000$ .

$500 (10) \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.14.3.2

Сократим общий множитель.

$500 \cdot 10 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Этап 2.2.14.3.3

Перепишем это выражение.

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$

Этап 3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ на $10$ .

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})$ на $1$ .

$\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $P$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} = \frac{| P |}{| 500 - P |}$

Этап 3.4

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

$\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

Этап 3.4.2

Умножим обе части на $| 500 - P |$ .

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Этап 3.4.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Сократим общий множитель $| 500 - P |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Этап 3.4.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Этап 3.4.4

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ .

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$

Этап 3.4.4.2

Разделим каждый член $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ на $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Разделим каждый член $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ на $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Этап 3.4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Этап 3.4.4.2.2.1.2

Разделим $| 500 - P |$ на $1$ .

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Этап 3.4.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Этап 3.4.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Этап 3.4.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Этап 3.4.4.5

Решим $500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1

Умножим обе части на $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.2.1.1

Упростим $(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.5.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.2.1.1.2.1

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.5.2.1.1.2.2

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.5.2.1.1.2.3

Изменим порядок $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ и $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = P$

Этап 3.4.4.5.3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.3.1

Вычтем $P$ из обеих частей уравнения.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} - P = 0$

Этап 3.4.4.5.3.2

Перенесем все члены без $P$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.3.2.1

Вычтем $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ из обеих частей уравнения.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

Этап 3.4.4.5.3.2.2

Разобьем дробь $\frac{C + t}{10}$ на две дроби.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Этап 3.4.4.5.3.3

Вынесем множитель $P$ из $- P e^{\frac{C + t}{10}} - P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $P$ из $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Этап 3.4.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $P$ из $- P$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Этап 3.4.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $P$ из $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Этап 3.4.4.5.3.4

Перепишем $- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ в виде $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Этап 3.4.4.5.3.5

Разделим каждый член $P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ на $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.3.5.1

Разделим каждый член $P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ на $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ .

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Этап 3.4.4.5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Этап 3.4.4.5.3.5.2.1.2

Разделим $P$ на $1$ .

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Этап 3.4.4.5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.3.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Этап 3.4.4.5.3.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Этап 3.4.4.5.3.5.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Этап 3.4.4.5.3.5.3.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)}$

Этап 3.4.4.5.3.5.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

Этап 3.4.4.5.3.5.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.3.5.3.6.1

Перепишем $- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ в виде $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

Этап 3.4.4.5.3.5.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Этап 3.4.4.5.3.5.3.6.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Этап 3.4.4.5.3.5.3.6.4

Умножим $\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$ на $1$ .

$P = \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Этап 3.4.4.6

Решим $500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1

Умножим обе части на $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.2.1.1

Упростим $(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.6.2.1.1.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.2.1.1.2.1

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.6.2.1.1.2.2

Изменим порядок $t$ и $C$ .

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.6.2.1.1.2.3

Изменим порядок $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ и $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ в числитель.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.6.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Этап 3.4.4.6.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - P$

Этап 3.4.4.6.3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.3.1

Добавим $P$ к обеим частям уравнения.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} + P = 0$

Этап 3.4.4.6.3.2

Перенесем все члены без $P$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.3.2.1

Вычтем $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ из обеих частей уравнения.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

Этап 3.4.4.6.3.2.2

Разобьем дробь $\frac{C + t}{10}$ на две дроби.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Этап 3.4.4.6.3.3

Вынесем множитель $P$ из $- P e^{\frac{C + t}{10}} + P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $P$ из $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Этап 3.4.4.6.3.3.2

Возведем $P$ в степень $1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Этап 3.4.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $P$ из $P^{1}$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Этап 3.4.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $P$ из $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Этап 3.4.4.6.3.4

Перепишем $- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ в виде $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Этап 3.4.4.6.3.5

Разделим каждый член $P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ на $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.3.5.1

Разделим каждый член $P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ на $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ .

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Этап 3.4.4.6.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Этап 3.4.4.6.3.5.2.1.2

Разделим $P$ на $1$ .

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Этап 3.4.4.6.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.3.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Этап 3.4.4.6.3.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Этап 3.4.4.6.3.5.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{\frac{C + t}{10}}$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Этап 3.4.4.6.3.5.3.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)}$

Этап 3.4.4.6.3.5.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

Этап 3.4.4.6.3.5.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.3.5.3.6.1

Перепишем $- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ в виде $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ .

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

Этап 3.4.4.6.3.5.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Этап 3.4.4.6.3.5.3.6.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Этап 3.4.4.6.3.5.3.6.4

Умножим $\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$ на $1$ .

$P = \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Этап 3.4.4.7