Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y = 3 e^{2 x}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} (3 e^{2 x})$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 3 e^{x} e^{2 x}$

Этап 2.3

Умножим $e^{x}$ на $e^{2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 3 (e^{2 x} e^{x})$

Этап 2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 3 e^{2 x + x}$

Этап 2.3.3

Добавим $2 x$ и $x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 3 e^{3 x}$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 3 e^{3 x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 3 e^{3 x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 3 e^{3 x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 3 e^{3 x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} y = \int 3 e^{3 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = 3 \int e^{3 x} d x$

Этап 6.2

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 6.2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 6.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 6.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{x} y = 3 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 6.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{x} y = 3 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 6.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$e^{x} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Этап 6.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{x} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Этап 6.5.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{x} y = 1 \int e^{u} d u$

Этап 6.5.3

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$e^{x} y = \int e^{u} d u$

Этап 6.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{x} y = e^{u} + C$

Этап 6.7

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$e^{x} y = e^{3 x} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{x} y = e^{3 x} + C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{x} y = e^{3 x} + C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{3 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ и $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{x} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{x} e^{2 x}}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{x} e^{2 x}}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{e^{2 x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2.4

Разделим $e^{2 x}$ на $1$ .

$y = e^{2 x} + \frac{C}{e^{x}}$