Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - 4 e^{x - 8}$ , $y (8) = 8$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = - 4 e^{x - 8} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - 4 e^{x - 8} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - 4 e^{x - 8} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - 4 \int e^{x - 8} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = x - 8$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = x - 8$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x - 8]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $x - 8$ .

$y + C_{1} = - 4 e^{x - 8} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - 4 e^{x - 8} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $8$ вместо $x$ и $8$ вместо $y$ в $y = - 4 e^{x - 8} + K$ .

$8 = - 4 e^{8 - 8} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 e^{8 - 8} + K = 8$ .

$- 4 e^{8 - 8} + K = 8$

Этап 4.2

Упростим $- 4 e^{8 - 8} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$- 4 e^{0} + K = 8$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 4 \cdot 1 + K = 8$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4 + K = 8$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$K = 8 + 4$

Этап 4.3.2

Добавим $8$ и $4$ .

$K = 12$

Этап 5

Подставим $12$ вместо $K$ в $y = - 4 e^{x - 8} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $12$ вместо $K$ .

$y = - 4 e^{x - 8} + 12$