Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Этап 1.1.1.2

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 1 = - y^{2}$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Этап 1.1.3.2

Возведем $\frac{d y}{d x}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - y^{2} - 1$

Этап 1.1.3.4

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ на $x^{2} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.5.1

Перепишем $- (y^{2} + 1)$ в виде $- 1 (y^{2} + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (- \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y^{2} + 1}$ в числитель.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

Этап 3.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ на $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $\arctan (x)$ на $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \arctan (y)$ в виде $- \arctan (y)$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

Этап 3.3.3.1.4

Разделим $K$ на $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

Этап 3.4

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

Этап 3.5

Перепишем уравнение в виде $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Этап 3.6

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arctan (y)$ из тангенса.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Этап 3.7

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Этап 3.8

Разделим каждый член $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Разделим каждый член $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ на $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.2.2

Разделим $\arctan (y)$ на $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \arctan (x)$ в виде $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Этап 3.8.3.1.4

Разделим $K$ на $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Этап 3.9

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

Этап 3.10

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Этап 3.11

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\arctan (y)$ из тангенса.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Этап 3.12

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Этап 3.13

Разделим каждый член $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Разделим каждый член $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ на $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.2.2

Разделим $\arctan (y)$ на $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \arctan (x)$ в виде $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Этап 3.13.3.1.4

Разделим $K$ на $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Этап 3.14

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$