Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = y^{2} (1 + t)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + t))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (1 + t))$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 1 + t$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (1 + t) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 1 + t d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 1 + t d t$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 1 + t d t$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 1 + t d t$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 1 + t d t$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 + t d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int d t + \int t d t$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = t + C_{2} + \int t d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = t + C_{2} + \frac{1}{2} t^{2} + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = t + \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{1}{2} t^{2} + t + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{t^{2}}{2} + t + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 2, 1, 1$

Этап 3.2.2

Так как $y, 2, 1, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 2, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.7

НОК $1, 2, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.2.8

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.9

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 3.2.10

НОК $y, 2, 1, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{y} = \frac{t^{2}}{2} + t + K$ умножим на $2 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = \frac{t^{2}}{2} + t + K$ на $2 y$ .

$- \frac{1}{y} (2 y) = \frac{t^{2}}{2} (2 y) + t (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = \frac{t^{2}}{2} (2 y) + t (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = \frac{t^{2}}{2} (2 y) + t (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = \frac{t^{2}}{2} (2 y) + t (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 2 = \frac{t^{2}}{2} (2 y) + t (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 = \frac{t^{2}}{2} (2 y) + t (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = 2 \frac{t^{2}}{2} y + t (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 2 = 2 \frac{t^{2}}{2} y + t (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 2 = t^{2} y + t (2 y) + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = t^{2} y + 2 t y + K (2 y)$

Этап 3.3.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 = t^{2} y + 2 t y + 2 K y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $t^{2} y + 2 t y + 2 K y = - 2$ .

$t^{2} y + 2 t y + 2 K y = - 2$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $t^{2} y + 2 t y + 2 K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $t^{2} y$ .

$y t^{2} + 2 t y + 2 K y = - 2$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $2 t y$ .

$y t^{2} + y (2 t) + 2 K y = - 2$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $2 K y$ .

$y t^{2} + y (2 t) + y (2 K) = - 2$

Этап 3.4.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y t^{2} + y (2 t)$ .

$y (t^{2} + 2 t) + y (2 K) = - 2$

Этап 3.4.2.5

Вынесем множитель $y$ из $y (t^{2} + 2 t) + y (2 K)$ .

$y (t^{2} + 2 t + 2 K) = - 2$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (t^{2} + 2 t + 2 K) = - 2$ на $t^{2} + 2 t + 2 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (t^{2} + 2 t + 2 K) = - 2$ на $t^{2} + 2 t + 2 K$ .

$\frac{y (t^{2} + 2 t + 2 K)}{t^{2} + 2 t + 2 K} = \frac{- 2}{t^{2} + 2 t + 2 K}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $t^{2} + 2 t + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (t^{2} + 2 t + 2 K)}{t^{2} + 2 t + 2 K} = \frac{- 2}{t^{2} + 2 t + 2 K}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2}{t^{2} + 2 t + 2 K}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2}{t^{2} + 2 t + 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{2}{t^{2} + 2 t + K}$