Математический анализ Примеры

$(a^{2} - 2 x y - y^{2}) d x - {(x + y)}^{2} d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = a^{2} - 2 x y - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2} - 2 x y - y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $a^{2} - 2 x y - y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $a^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $a^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 x y$ по $y$ равна $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{2}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - (2 y)$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - 2 y$

Этап 1.5

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- {(x + y)}^{2}]$

Этап 2.2

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- ((x + y) (x + y))]$

Этап 2.3

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x (x + y) + y (x + y))]$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y (x + y))]$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)]$

Этап 2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)]$

Этап 2.4.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y^{2})]$

Этап 2.4.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + x y + y^{2})]$

Этап 2.4.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + 2 x y + y^{2})]$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x^{2} + 2 x y + y^{2})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.8

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.11

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + 0)$

Этап 2.12

Добавим $2 x + 2 y$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y)$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (2 y)$

Этап 2.13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (2 y)$

Этап 2.13.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 2 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - {(x + y)}^{2} d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - \int {(x + y)}^{2} d y$

Этап 5.2

Пусть $u = x + y$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Пусть $u = x + y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Дифференцируем $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Этап 5.2.1.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 5.2.1.3

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 5.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 5.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 5.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$f (x, y) = - \int u^{2} d u$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 5.4

Перепишем $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ в виде $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 5.5

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.3

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.5

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.9

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.10

Объединим $\frac{- 3}{3}$ и ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.11

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 {(x + y)}^{2}$ .

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- {(x + y)}^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.3.11.2.4

Разделим $- {(x + y)}^{2}$ на $1$ .

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - {(x + y)}^{2} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим ${(x + y)}^{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$

Этап 10

Найдем первообразную $a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

Этап 10.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int a^{2} d x + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Этап 10.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = a^{2} x + C + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Этап 10.5

Поскольку $- 2 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2 y$ из-под знака интеграла.

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y \int x d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Этап 10.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Этап 10.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

Этап 10.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

Этап 10.9

Пусть $u = x + y$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Пусть $u = x + y$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1.1

Дифференцируем $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 10.9.1.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 10.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 10.9.1.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 10.9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 10.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int u^{2} d u$

Этап 10.10

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 10.11

Упростим.

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 10.12

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Этап 12

Объединим противоположные члены в $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ и $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ .

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + 0 + C$

Этап 12.2

Добавим $a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x$ и $0$ .

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + C$