Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3.2.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ в виде $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Объединим $12$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $3$ вместо $y$ в $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ .

$3 = 4 \sin^{3} (0) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $4 \sin^{3} (0) + K = 3$ .

$4 \sin^{3} (0) + K = 3$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $4 \sin^{3} (0) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 \cdot 0^{3} + K = 3$

Этап 4.2.1.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 + K = 3$

Этап 4.2.1.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$0 + K = 3$

Этап 4.2.1.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 3$

Этап 5

Подставим $3$ вместо $K$ в $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $3$ вместо $K$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + 3$