Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 2 x y - 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Этап 1

Добавим $2 x e^{- x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 2 x e^{- x^{2}}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 x d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int x d x}$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{1 x^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} (x e^{- x^{2}})$

Этап 3.4

Умножим $e^{x^{2}}$ на $e^{- x^{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $e^{- x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 (e^{- x^{2}} e^{x^{2}}) x$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2} + x^{2}} x$

Этап 3.4.3

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{0} x$

Этап 3.5

Упростим $2 e^{0} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$

Этап 3.6

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Этап 7.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 7.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 7.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Этап 7.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ на $e^{x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ на $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$