Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} (\frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $e^{3 y + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $e^{3 y + 9}$ из $x^{2} e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$e^{3 y + 9} d y = \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int e^{3 y + 9} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 3 y + 9$ . Тогда $d u = 3 d y$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 3 y + 9$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $3 y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $3 y + 9$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $y$ , производная $9$ относительно $y$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $3 y + 9$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- x^{- 1} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $4 (- x^{- 1} + C_{2})$ в виде $4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - 4 \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{- 4}{x} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - \frac{4}{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = - \frac{4}{x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 y + 9}$ .

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{4}{x} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $3 (- \frac{4}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e^{3 y + 9} = - 3 \frac{4}{x} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{4}{x}$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{- 3 \cdot 4}{x} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.2.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{- 12}{x} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{3 y + 9} = - \frac{12}{x} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{3 y + 9})$ , вынося $3 y + 9$ из логарифма.

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Этап 3.4.3

Умножим $3 y + 9$ на $1$ .

$3 y + 9 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Этап 3.5

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$

Этап 3.6

Разделим каждый член $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Этап 3.6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Этап 3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Разделим $- 9$ на $3$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} - 3$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + K)}{3} - 3$