Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y + 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x^{2} + x}{y + 1}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x}{y + 1}$

Этап 1.2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x^{1}}{y + 1}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x \cdot x + x \cdot 1}{y + 1}$

Этап 1.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = (y + 1) \frac{x (x + 1)}{y + 1}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x (x + 1)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 1$

Этап 1.2.4

Умножим $x$ на $x$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 1$

Этап 1.2.5

Умножим $x$ на $1$ .

$(y + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(y + 1) d y = (x^{2} + x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y + 1 d y = \int x^{2} + x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y d y + \int d y = \int x^{2} + x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} + x d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} + x d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} + x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + K$

Этап 3.3

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $\frac{x^{3}}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Этап 3.3.2

Вычтем $\frac{x^{2}}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} = K$

Этап 3.3.3

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Этап 3.4

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $6$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) (\frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot (3 (\frac{y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{3}}{3}$ в числитель.

$3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- \frac{x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{2}$ в числитель.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.4.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 (3) (\frac{- x^{2}}{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.4.3

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 2 \cdot (3 (\frac{- x^{2}}{2})) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.4.4

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 3 (- x^{2}) + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K = 0$

Этап 3.4.3

Перенесем $6 y$ .

$3 y^{2} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Этап 3.4.4

Изменим порядок $3 y^{2}$ и $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Этап 3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.6

Подставим значения $a = 3$ , $b = 6$ и $c = - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 (- 2 x^{3}) - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Умножим $- 2$ на $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} - 12 (- 3 x^{2}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.4.2

Умножим $- 3$ на $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.4.3

Умножим $- 6$ на $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем множитель $12$ из $36 + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.5.1

Вынесем множитель $12$ из $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 24 x^{3} + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.5.2

Вынесем множитель $12$ из $24 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 36 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.5.3

Вынесем множитель $12$ из $36 x^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.5.4

Вынесем множитель $12$ из $72 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.5.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (3) + 12 (2 x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.5.6

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 + 2 x^{3}) + 12 (3 x^{2})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.5.7

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2}) + 12 (6 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.6

Перепишем $12 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)$ в виде $2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.6.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{6}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 K + 3)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 x^{3} + 3 x^{2} + K)}}{3}$