Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} + 2 y$

Этап 1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = e^{3 x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 2 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} e^{3 x}$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} e^{3 x}$

Этап 3.3

Умножим $e^{- 2 x}$ на $e^{3 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x + 3 x}$

Этап 3.3.2

Добавим $- 2 x$ и $3 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{x}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = e^{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = e^{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 2 x} y = \int e^{x} d x$

Этап 7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{- 2 x} y = e^{x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{- 2 x} y = e^{x} + C$ на $e^{- 2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{- 2 x} y = e^{x} + C$ на $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{- 2 x} e^{3 x}}{e^{- 2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{e^{3 x}}{1} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 8.3.1.2.4

Разделим $e^{3 x}$ на $1$ .

$y = e^{3 x} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$