Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}$ , $y (1) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Объединим $x^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Этап 2.3.4.2

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x$

Этап 2.3.6

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $3$ вместо $y$ в $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Этап 4.2

Упростим $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{3}{4 \cdot 1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Этап 4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Этап 4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (1) + C = 3$

Этап 4.2.1.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \cdot 0 + C = 3$

Этап 4.2.1.5

Умножим $4$ на $0$ .

$- \frac{3}{4} + 0 + C = 3$

Этап 4.2.2

Добавим $- \frac{3}{4}$ и $0$ .

$- \frac{3}{4} + C = 3$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $\frac{3}{4}$ к обеим частям уравнения.

$C = 3 + \frac{3}{4}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$C = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 4.3.3

Объединим $3$ и $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$C = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $3$ на $4$ .

$C = \frac{12 + 3}{4}$

Этап 4.3.5.2

Добавим $12$ и $3$ .

$C = \frac{15}{4}$

Этап 5

Подставим $\frac{15}{4}$ вместо $C$ в $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{15}{4}$ вместо $C$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + \frac{15}{4}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{15}{4}$

Этап 5.2.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln (x^{4}) + \frac{15}{4}$